NE5532 попробую поискать, если нет насчет него возражений...
В документации нет слов "No phase reversal", но на Вике пишут "Input overdrive does not cause output phase inversion which is common to the TL072 op amp.".

А вы, все же, попробуйте включить кремниевый диод между + и - входами ОУ анодом к + входу - это может помочь.

Так дело не в схеме, LM358 не щелкает.
У нее в доке то же нет про реверс фазы, но по факту к этому не склонна, и даже кто то писал, что входное может быть чуть ниже минусовой рельсы.
Но по скорости, она конечно дрова, просто для другого предназначена.

Спасибо за ссылку на TI кстати!
Не знал что бяка типовая, и у нее даже название есть.

~Dimon~, если сделать схему на LM358 с С3 на землю и тау с С3 будет больше чем тау в In+ - тоже будет заметный щелчек.

по поводу именно особенностей TL08x/07x

если взять одиночные усилители TL080 то антищелчек легко сделать RС с конденсатором от -Vcc и шоттки диод катодом от С, анодом на доп вывод COMP .

а самый простой универсальный путь для TL08x/07x - сделать отрицательное питание (по сути - просто зацепить все конденсаторы включая выходной за +Vcc. с точки зрения проникновения пульсаций в звук - ничего не изменится (если только нет асимметрии в гальванической отвязке полюсов питания, которая скорее маловероятна)